Question

15、已知：如圖1，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F．
（1）求證：AN=BM；
（2）求證：△CEF為等邊三角形；
（3）將△ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第（1）、（2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）可通過(guò)全等三角形來(lái)得出簡(jiǎn)單的線段相等，證明AN=BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，這兩個(gè)三角形中，已知的條件有AC=MC，NC=CB，只要證明這兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等即可，我們發(fā)現(xiàn)∠ACN和∠MCB都是等邊三角形的外角，因此它們都是120°，這樣就能得出兩三角形全等了．也就證出了AN=BM．
（2）我們不難發(fā)現(xiàn)∠ECF=180-60-60=60°，因此只要我們?cè)僮C得兩條邊相等即可得出三角形ECF是等邊三角形，可從EC，CF入手，由（1）的全等三角形我們知道，∠MAC=∠BMC，
又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此時(shí)三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我們?cè)俑鶕?jù)∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等邊三角形的結(jié)論．
（3）

判定結(jié)論1是否正確，也是通過(guò)證明三角形ACN和BCM來(lái)求得．這兩個(gè)三角形中MC=AC，
NC=BC，∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB，因此兩三角形就全等，AN=BM，結(jié)論1正確．
根據(jù)圖1，當(dāng)把MC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，AC也旋轉(zhuǎn)了90°，因此∠ACB=90°，很顯然∠FCE＞90°，因此三角形FCE絕對(duì)不可能是等邊三角形．

解答：證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
即：∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．

（2）∵△CAN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB．
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE．
在△CAE和△CMF中
∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，
∴△CAE≌△CMF（ASA）．
∴CE=CF．
∴△CEF為等腰三角形．
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF為等邊三角形．

（3）如右圖，
∵△CMA和△NCB都為等邊三角形，
∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，
∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，
∴△CMB≌△CAN，
∴AN=MB，
結(jié)論1成立，結(jié)論2不成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，利用全等三角形來(lái)得出角和邊相等是解題的關(guān)鍵．