Question

如圖，拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，－3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形嗎？為什么？

（3）探究軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）y = x²－2x－3, D的坐標(biāo)為（2）是直角三角形,理由見解析（3）P₁（0，0），P₂（9，0）

【解析】解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為，

由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，－3）,可知. （1分）

即拋物線的解析式為．                

把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 

解得.（3分）∴ 拋物線的解析式為y = x²－2x－3．  

∴ 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4分）.（設(shè)為交點(diǎn)式參照給分）

（2）以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.  （5分）理由如下：

過(guò)點(diǎn)D分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F.

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴ .在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，

∴ .在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，

∴ . 

∴ ， 故△BCD為直角三角形.（7分）      

（3）符合條件的點(diǎn)有二個(gè)：P₁（0，0），P₂（9，0）.

（1）利用待定系數(shù)法將A（-1，0）、B（3，0），C（0，-3），代入y=ax²+bx+c，求出二次函數(shù)解析式即可；利用配方法直接求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）過(guò)點(diǎn)D分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F;根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行解答

（3）根據(jù)相似三角形的判定方法分別得出即可