【題目】(教材回顧)課本88頁,有這樣一段文字:人們通過長期觀察發(fā)現(xiàn)如果早晨天空中棉絮的高積云,那么午后常有雷雨降臨,于是有了“朝有破絮云,午后雷雨臨”的諺語.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,我們經(jīng)常用這樣的方法探究規(guī)律.

(數(shù)學(xué)問題)三角形有3個(gè)頂點(diǎn),如果在它的內(nèi)部再畫n個(gè)點(diǎn),并以這(n+3)個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形,那么最多可以剪得多少個(gè)這樣的三角形?

(問題探究)為了解決這個(gè)問題,我們可以從n=1,n=2,n=3等具體的、簡單的情形入手,探索最多可以剪得的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律.

三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)

圖形

最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)

1

3

2

5

3

7

(問題解決)

(1) 當(dāng)三角形內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)時(shí),最多剪得的三角形個(gè)數(shù)為______________;

(2) 你發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律是:三角形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè),最多剪得的三角形增加______個(gè);

(3) 猜想:當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí),最多可以剪得_______________個(gè)三角形;

像這樣通過對(duì)簡單情形的觀察、分析,從特殊到一般地探索這類現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納

(問題拓展)

(4)請你嘗試用歸納的方法探索1+3+5+7++(2n-1)+(2n+1)的和是多少?

【答案】(1)9;(2)2;(3)2n+1;(4)n2+2n+1.

【解析】

(1)利用表格中數(shù)據(jù)得出三角形個(gè)數(shù)的變化可推出n=4時(shí),最多剪得的三角形的個(gè)數(shù);

(2)利用(1)中數(shù)據(jù)得出三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律即可;

(3)利用(2)中變化規(guī)律即可得出當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí),最多可以剪得三角形的個(gè)數(shù);

問題拓展利用補(bǔ)項(xiàng)法求出答案.

(1)∵當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1時(shí),最多可以剪得3個(gè)三角形;

當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí),最多可以剪得5個(gè)三角形;

當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3時(shí),最多可以剪得7個(gè)三角形;

∴當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4時(shí),最多可以剪得9個(gè)三角形;

故答案為:9;

(2)由(1)的結(jié)果可得出:三角形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè),最多剪得的三角形增加2個(gè);

故答案為:2;

(3)1×2+1=3,2×2+1=5,3×2+1=7,

∴當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí),最多可以剪得(2n+1)個(gè)三角形;

故答案為:2n+1;

【問題拓展】

1+3+5+7+…+(2n-1)+(2n+1)

= [1+3+5+7+…+(2n-1)+(2n+1)][(2n+1)+(2n-1)+…+7+5+3+1]

=(n+1)(1+2n+1)

=(n+1)2

=n2+2n+1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面內(nèi)直角坐標(biāo)系中,直線l:y= x+1交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)A1 , A2 , A3 , …在x軸上,點(diǎn)B1、B2、B3 , …在直線l上.若△OB1A1 , △A1B2A2 , △A2B3A3 , …均為等邊三角形,則OAn的長是( )

A.2n
B.(2n+1)
C.(2n﹣1﹣1)
D.(2n﹣1)

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【題目】如圖,在RtABC中,∠ABC=90°,ABBC,DAC上一點(diǎn),AEBD,交BD的延長線于E,CFBDF.

(1)求證:CFBE;

(2)BD=2AE,求證:∠EADABE.

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【題目】如圖,圖①中ABC是等邊三角形,其邊長是3,圖②中DEF是等腰直角三角形,∠F=90°,DF=EF=3.

(1)S1ABC的面積,S2DEF的面積,S3AB·BC·sinB,S4DE·DF·sinD,請通過計(jì)算說明S1S3,S2S4之間有著怎樣的關(guān)系;

(2)在圖③中,∠P=α(α為銳角),OP=m,PQ=n,OPQ的面積為S,請你根據(jù)第(1)小題的解答,直接寫出Sm,n以及α之間的關(guān)系式,并給出證明.

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【題目】如圖,ABC為銳角三角形,ADBC邊上的高,正方形EFGH的一邊FGBC上,頂點(diǎn)E、H分別在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm

1)求證:AEH∽△ABC

2)求這個(gè)正方形的邊長與面積.

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【題目】小文同學(xué)每天乘從BRT(城市快速公交)上學(xué),為了方便乘坐BRT,他用自己勤工儉學(xué)的錢買了80元的公交卡.如果他乘坐的次數(shù)用n表示,則記錄他每次乘坐BRT后公交卡的余額(單位:元)如下表:

次數(shù)n

余額()

1

80-0.9

2

80-1.8

3

80-2.7

4

80-3.6

(1)寫出用乘坐BRT的次數(shù)n表示余額的式子為____________________;

(2)利用(1)中的式子,幫助小文同學(xué)算一算,他一個(gè)月乘坐BRT84次,這80元的公交卡夠不夠用,若夠用,能剩多少元?

(3)小文同學(xué)用80元的公交卡最多能乘坐BRT__________________次.

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【題目】十一國慶期間出租車司機(jī)小李某天下午的營運(yùn)始終在長安街(自東向西或自西向東)上進(jìn)行,如果規(guī)定向東為正,向西為負(fù),他這天下午從天安門出發(fā),行車?yán)锍蹋▎挝唬呵祝┤缦拢?/span>

+15,﹣2,+5,﹣1,+10,﹣3,﹣2,+12,+4,﹣5,+6.

(1)小李將最后一名乘客送抵目的地時(shí),小李距天安門有多遠(yuǎn)?

(2)如果汽車耗油量為0.08/千米,這天下午小李共耗油多少升?

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A. a=b B. a=2b

C. a=3b D. a=4b

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【題目】從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形后,將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形(如圖1),然后拼成一個(gè)平行四邊形(如圖2)。那么通過計(jì)算兩個(gè)圖形的陰影部分的面積,可以驗(yàn)證成立的公式是( )

Aa2b2=(ab)2

B(a+b)2="a+2ab+b"

C(ab)2=a22ab+b2

Da2b2=(ab)(a+b)

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