Question

（2012•高郵市一模）電瓶廠投資2000萬(wàn)元安裝了電動(dòng)自行車電瓶流水線，生產(chǎn)的電瓶成本為40元/只，設(shè)銷售單價(jià)為x元（100≤x≤250），年銷售量為y萬(wàn)件，年獲利為w（萬(wàn)元）．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x=100元時(shí)，y=20萬(wàn)件．當(dāng)100＜x≤200元時(shí)，x在100元的基礎(chǔ)上每增加1元，y將減少0.1萬(wàn)件；當(dāng)200＜x≤250元時(shí)，x在200元的基礎(chǔ)上每增加1元，y將減少0.2萬(wàn)件．（年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-投資）
（1）當(dāng)x=180時(shí)，w=

-320

萬(wàn)元；當(dāng)x=240時(shí)，y=

2

萬(wàn)件；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，第一年的年獲利虧損最少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)：當(dāng)x=180時(shí)，年獲利w=（180-40）×銷售量-投資2000萬(wàn)元，銷售量=[20-（180-100）×0.1]，求w的值，當(dāng)x=240時(shí)，先求當(dāng)x=200時(shí)，銷售量為10萬(wàn)件，再求當(dāng)x=240時(shí)的銷售量；
（2）①當(dāng)100＜x≤200時(shí)，根據(jù)（1）銷售量的求法列出函數(shù)式，②當(dāng)200＜x≤300時(shí)，先求當(dāng)x=200時(shí)，銷售量為10萬(wàn)件，再求出此時(shí)銷售量的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)售價(jià)分段：①100＜x≤200，②200＜x≤250，由（2）找出對(duì)應(yīng)的銷售量，再根據(jù)：年獲利w=（x-40）×銷售量-投資2000萬(wàn)元，分別列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值．

解答：解：（1）當(dāng)x=180時(shí)，w=（180-40）×[20-（180-100）×0.1]-2000=-320萬(wàn)元；
當(dāng)x=200時(shí)，銷售量為[20-（200-100）×0.1]=10萬(wàn)件，
當(dāng)x=240時(shí)，y=[10-（240-200）×0.2]=2萬(wàn)件；
故答案為：-320萬(wàn)元、2萬(wàn)件；

（2）①當(dāng)100＜x≤200時(shí)，y=20-0.1（x-100）=-0.1x+30，
②當(dāng)200＜x≤300時(shí)，y=10-0.2（x-200）=-0.2x+50，
（先把x=200代入y=-0.1x+30得y=10）；

（3）①當(dāng)100＜x≤200時(shí)，w=（x-40）（-0.1x+30）-2000=-0.1x²+34x-3200=-0.1（x-170）²-310，
當(dāng)x=170時(shí)，w_最大值=-310                  
②當(dāng)200＜x≤250時(shí)，w=（x-40）（-0.2x+50）-2000=-0.2x²+58x-4000=-0.2（x-145）²+205，
∴對(duì)稱軸是直線x=145，
∵-0.2＜0，200＜x≤250，
∴在200＜x≤250時(shí)，w隨x的增大而減小，
∵x=200時(shí)，w=-400，
∴w_最大值＜-400，
∴綜合①、②可知，當(dāng)x=170元時(shí)，w_最大值=-310萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是理解題意，由題意列出銷售量，年利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系式，注意分段函數(shù)的運(yùn)用．