Question

【題目】如圖，拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,4），拋物線與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E（0,3）．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)F（0，-3），在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得EP+FP最小，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x+3；（2）存在，P(1,0)，理由見解析；

【解析】

（1）根據(jù)頂點(diǎn)式可求得拋物線的表達(dá)式；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題，作E關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接E'F交對(duì)稱軸于P，此時(shí)EP+FP的值最小，先求E'F的解析式，它與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P；

（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x1)2+4，

把(0,3)代入得：3=a(01)2+4，

解得：a=1，

∴拋物線的表達(dá)式為：y=(x1)2+4=x2+2x+3；

（2）存在，

作E關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F交對(duì)稱軸于P，此時(shí)EP+FP的值最小，

∵E(0,3)，

∴E′(2,3)，

易得E′F的解析式為：y=3x3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=3×13=0，

∴P(1,0)．