Question

（2011•葫蘆島一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點M是BC的中點，點P從點M出發(fā)沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；點Q從點M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動，在點P，Q的運動過程中，以PQ為邊作正方形PQEF，使它與矩形ABCD在BC的同側，點P，Q同時出發(fā)，當點P返回點M時停止運動，點Q也隨之停止，設點P，Q運動的時間是t秒（t＞0）
（1）用含t的代數式表示線段BQ的長；
（2）設正方形PQEF與矩形ABCD重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
（3）連接AC，當正方形PQEF與△ADC重疊部分為三角形時，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出BM，MQ，即可得出答案；
（2）分為三種情況：①當0＜t≤3時，根據PQ=2t得出S=（2t）²；②當3＜t≤4時，根據PQ=2t，AB=6求出S=12t；③
當4＜t≤8時，根據PC=12-t，ab=6求出S=-6t+72；
（3）當點E在AC上時求出t=

12

11

，當F在AC上時求出t=

12

5

，即可得出答案；當點F在BA的延長線上時求出t=4．

解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，AD=8，點M是BC的中點，
∴BC=AD=8，BM=4，
∵MQ=t，
∴BQ=t+4；

（2）分為三種情況：①如圖1，

當0＜t≤3時，
∵PQ=2t，
∴S=（2t）²，
∴S=4t²；
②如圖2，

當3＜t≤4時，
∵PQ=2t，AB=6，
∴S=12t；
③如圖3，

當4＜t≤8時，
∵PC=12-t，ab=6，
∴S=-6t+72；
（3）如圖4，

當點E在AC上時，
∵△CEQ∽△CAB，
∴

EQ

AB

=

CQ

BC

，
∴

2t

6

=

4-t

8

，
∴t=

12

11

，
當F在AC上時，
∵△CPF∽△CBA，
∴

PF

AB

=

CP

BC

，
∴

2t

6

=

t+4

8

，
∴t=

12

5

，
∴

12

11

＜t≤

12

5

；
如圖5，

當點F在BA的延長線上時，t=4，
即t的取值范圍是

12

11

＜r≤

12

5

或t=4．

點評：本題考查了正方形性質，相似三角形的性質和判定的應用，題目綜合性比較強，難度偏大，注意要進行分類討論�。�