如圖①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120o，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60o角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N，連接MN。

(1)探究BM、MN、NC之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由。（6分）(2)若△ABC的邊長(zhǎng)為2，求△AMN的周長(zhǎng)。

(3)若點(diǎn)M、N分別是AB、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，在圖②中畫(huà)出圖形，并說(shuō)出BM、MN、NC之間的關(guān)系（4分）

解：如圖：

（1）MN=MB+NC。理由如下：

∵DB=DC，∠BDC=120O

∴將△DCN繞點(diǎn)D逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)120o，使

DC與DB重合，

得，Rt△DBN/。

∵∠MDN=60O

∴∠CDN+∠BDM=120O-60O=60O，

∴∠MDN/=60O=∠MDN，DC=DN/，DM=DM

∴△MDN≌△MDN/，

∴MN=MN/而NC=N/B，

∴MN=MB+NC。

（2）由（1）題得：MN=MB+NC，

AB=AC=2

∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=4

（3）關(guān)系：MN=CN-BN

（提示：將Rt△DBN繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120o使DB與DC重合，則CM/=BN，可證：△NDM≌△NDM/）

   

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知△ABC為正三角形，點(diǎn)M是射線BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是射線CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點(diǎn)．就下面給出的三種情況（如圖①、②、③），先用量角器分別測(cè)量∠BQM的大小，然后猜測(cè)∠BQM等于多少度，并利用圖③證明你的結(jié)論．
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（2）將（1）中的“正△ABC”分別改為正方形ABCD（如圖④）、正五邊形ABCDE（如圖⑤）．正六邊形ABCDEF（如圖③）、…、正n邊形ABCD…X（如圖（n）），“點(diǎn)N是射線CA上任意一點(diǎn)”改為點(diǎn)N是射線CD上任意一點(diǎn)，其余條件不變，根據(jù)（1）的求解思路，分別推斷∠BQM各等于多少度，將結(jié)論填入下表：精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

觀察本題的三個(gè)圖形，思考下列問(wèn)題
（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)M是CD上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BM于O，且交AD于N點(diǎn)．求證：BM=CN；
（2）如圖2，等邊△ABC中，點(diǎn)M是CA上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作射線CN交AB于點(diǎn)N、交BM于點(diǎn)O，且使∠BOC=120°．
請(qǐng)你判斷此時(shí)BM與CN的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，正n邊形ABCDE…An中，點(diǎn)M是CD上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作射線CN交DE于點(diǎn)N、交BM于點(diǎn)O，且使BM=CN．設(shè)此時(shí)∠BOC的大小為y，請(qǐng)你寫(xiě)出y與n之間的函數(shù)關(guān)系式．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年江西撫州市崇仁四中初三第二次月考數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

問(wèn)題背景 某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到如下兩個(gè)命題：
①如圖1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分別與AB、BC交于點(diǎn)P,Q，若∠MON = 120°，則四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一.
②如圖2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分別與AB、BC交于點(diǎn)P,Q，若∠MON = 90°，則四邊形OPBQ的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.
然后運(yùn)用類比的思想提出了如下的命題：
③如圖3，O是正五邊形ABCDE的中心，∠MON分別與AB、BC交于點(diǎn)P,Q，若∠MON = 72°，則四邊形OPBQ的面積等于五邊形ABCDE面積的五分之一.
任務(wù)要求 
（1）請(qǐng)你從①、②、③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（說(shuō)明：選①做對(duì)的得5分，選②做對(duì)的得4分，選③做對(duì)的得6分）
（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：
如圖④，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，O是中心,∠MON分別與AB、BC交于點(diǎn)P,Q，若∠MON等于多少度時(shí)，則四邊形OPBQ的面積等于正n邊形ABCDE…面積的n分之一？（不要求證明）
解：（1）我選           .

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年江西撫州市初三第二次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

問(wèn)題背景  某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到如下兩個(gè)命題：

①如圖1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分別與AB、BC交于點(diǎn)P,Q，若∠MON = 120°，則四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一.

②如圖2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分別與AB、BC交于點(diǎn)P,Q，若∠MON = 90°，則四邊形OPBQ的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.

然后運(yùn)用類比的思想提出了如下的命題：

③如圖3，O是正五邊形ABCDE的中心，∠MON分別與AB、BC交于點(diǎn)P,Q，若∠MON = 72°，則四邊形OPBQ的面積等于五邊形ABCDE面積的五分之一.

任務(wù)要求 

（1）請(qǐng)你從①、②、③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（說(shuō)明：選①做對(duì)的得5分，選②做對(duì)的得4分，選③做對(duì)的得6分）

（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：

如圖④，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，O是中心,∠MON分別與AB、BC交于點(diǎn)P,Q，若∠MON 等于多少度時(shí)，則四邊形OPBQ的面積等于正n邊形ABCDE…面積的n分之一？（不要求證明）

解：（1）我選           .

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2007年廣東省廣州市花都區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

觀察本題的三個(gè)圖形，思考下列問(wèn)題
（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)M是CD上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BM于O，且交AD于N點(diǎn)．求證：BM=CN；
（2）如圖2，等邊△ABC中，點(diǎn)M是CA上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作射線CN交AB于點(diǎn)N、交BM于點(diǎn)O，且使∠BOC=120°．
請(qǐng)你判斷此時(shí)BM與CN的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，正n邊形ABCDE…An中，點(diǎn)M是CD上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作射線CN交DE于點(diǎn)N、交BM于點(diǎn)O，且使BM=CN．設(shè)此時(shí)∠BOC的大小為y，請(qǐng)你寫(xiě)出y與n之間的函數(shù)關(guān)系式．

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