Question

20．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，則下列結論：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF=AF+DE；
④當∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形．
其中一定正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①如果OA=OD，則四邊形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合題意，所以①不正確．
②首先根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△AE0≌△AFO，即可判斷出AD⊥EF．
③根據(jù)△AED≌△AFD，判斷出AE=AF，DE=DF，即可判斷出AE+DF=AF+DE成立，據(jù)此解答即可．
④首先判斷出當∠A=90°時，四邊形AEDF的四個角都是直角，四邊形AEDF是矩形，然后根據(jù)DE=DF，判斷出四邊形AEDF是正方形即可．

解答 解：如果OA=OD，則四邊形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合題意，
∴①不正確；
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FAD}&{\;}\\{∠AED=∠AFD=90°}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，
∴③正確；
在△AEO和△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}&{\;}\\{∠EAO=∠FAO}&{\;}\\{AO=AO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂線，
∴AD⊥EF，
∴②正確；
∵當∠A=90°時，四邊形AEDF的四個角都是直角，
∴四邊形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四邊形AEDF是正方形，
∴④正確．
綜上，可得正確的是：②③④．
故選：B．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、正方形的判定等知識；熟練掌握正方形的判定，證明三角形全等是解決問題的關鍵．