Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

圖象過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)A（-2，m）AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為3，若直線y=ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并且經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上另一點(diǎn)C（n，-

3

2

）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求直線y=ax+b解析式；
（3）求△AOC的面積；
（4）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請(qǐng)至少寫出三個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)Rt△AOB面積為得到

1

2

×2×m=3，解得m=3，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3），把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

k

x

可得k=-2×3=-6，確定反比例函數(shù)的解析式為y=-

6

x

；
（2）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=-

6

x

可確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-

3

2

），然后利用待定系數(shù)法確定經(jīng)過(guò)A點(diǎn)和C點(diǎn)的直線解析式；
（3）先求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用S_△AOC=S_△AOM+S_△COM進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）分類討論：當(dāng)OP=OA時(shí)，△PAO為等腰三角形，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫弧交x軸于P點(diǎn)，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

13

，0）或（

13

，0）；當(dāng)AP=AO時(shí)，△PAO為等腰三角形，此時(shí)P點(diǎn)與O點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）；當(dāng)PO=PA時(shí)，△PAO為等腰三角形，作OA的垂直平分線交x軸于P，交OA于D，則OD=

1

2

13

，易證得Rt△POD∽R(shí)t△AOB，則OP：OA=OD：OB，即OP：

13

=

13

2

：2，即可求出OP，從而確定此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，m），AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為3，
∴

1

2

×2×m=3，解得m=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3），
把A（-2，3）代入y=

k

x

得k=-2×3=-6，
所以反比例函數(shù)的解析式為y=-

6

x

；

（2）把C（n，-

3

2

）代入y=-

6

x

得-

3

2

n=-6，解得n=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-

3

2

），
把A（-2，3）、C（4，-

3

2

）代入y=ax+b得

-2a+b=3 4a+b=- 3 2

，解得

a=- 3 4 b= 3 2

，
所以直線y=ax+b解析式為y=-

3

4

x+

3

2

；

（3）連OC，
對(duì)于y=-

3

4

x+

3

2

，令y=0，則-

3

4

x+

3

2

=0，解得x=2，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），
∴S_△AOC=S_△AOM+S_△COM=

1

2

×2×3+

1

2

×2×

3

2

=

9

2

；

（4）存在．理由如下：
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3），
∴OB=2，AB=3，
∴OA=

22+32

=

13

，
當(dāng)OP=OA時(shí)，△PAO為等腰三角形，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

13

，0）或（

13

，0）；
當(dāng)AP=AO時(shí)，△PAO為等腰三角形，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）；
當(dāng)PO=PA時(shí)，△PAO為等腰三角形，
作OA的垂直平分線交x軸于P，交OA于D，如圖，
則OD=

1

2

13

，
易證得Rt△POD∽R(shí)t△AOB，
∴OP：OA=OD：OB，即OP：

13

=

13

2

：2，
∴OP=

13

4

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

13

4

，0），
所以在x軸上存在一點(diǎn)P，使△PAO為等腰三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

13

，0）或（

13

，0）或（-4，0）或（-

13

4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式；運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及使用分類討論的思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．