Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AB⊥AC，D是AC的中點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)A作AE⊥BD，交BC于E，求證：BE=2EC．

Answer 1

證明：設(shè)AE與BD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG∥BC交AE于點(diǎn)G，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴DG是△AEC的中位線，
∴EC=2GD，
∵AB=AC，
∴AB=2AD，
∵AB⊥AC，
∴BD==AD，
∵∠BAD=∠DFA=90°，
∵∠ABD+∠ADF=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ABD=∠DAF，
∴△AFD∽△BAD，
∴，
∴DF=AD，
∴BF=BD-DF=AD，
∴DF：BF=1：4，
∵GD∥BC，
∴△DFG∽△BFE，
∴=，
∴BE=4GD，
∴BE=2EC．
分析：首先設(shè)AE與BD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG∥BC交AE于點(diǎn)G，由AB=AC，AB⊥AC，D是AC的中點(diǎn)，易求得EC=2GD，BD=AD，又可證得△AFD∽△BAD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求得DF=AD，即可得DF：BF=1：4，又由△DFG∽△BFE，即可得BE=4DG，繼而證得BE=2EC．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角形的中位線定理．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．