Question

（2012•太原二模）如圖，直線l₁：y=-x+6交x軸于點(diǎn)B，與直線l₂：y=

1

2

x交于點(diǎn)A，點(diǎn)E為線段OA的中點(diǎn)，長為2個(gè)單位的動(dòng)線段CD（端點(diǎn)C從原點(diǎn)O開始）在線段OB上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（2+t，0）

，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

（2，1）

；
（2）探究：當(dāng)t為何值時(shí)△DEC為直角三角形；
（3）設(shè)點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn)，試探究是否存在t，使四邊形AECF的周長最��？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）用t表示出OC的長度，然后可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，聯(lián)立兩直線解析式可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）分三種情況討論即可，①∠EDC=90°，②∠ECD=90°，③∠CED=90°，分別求出t的值．
（3）作CE關(guān)于x軸的對(duì)稱線段，CE'，將CE'向右平移至FE''，當(dāng)FE''與AF共線時(shí)四邊形AECF的周長最小，確定AE''的直線解析式，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入可求出t的值．

解答：解：（1）運(yùn)動(dòng)t秒后OC=t，則可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2+t，0），

y=-x+6 y= 1 2 x

，
解得：

x=4 y=2

，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），
∵點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）．

（2）①當(dāng)∠EDC=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為：（2，1），點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，0），
則2+t=2，
解得：t=0；
②當(dāng)∠ECD=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為：（2，1），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0），
則t=OC=2；
③當(dāng)∠CED=90°時(shí)，過點(diǎn)E作EP⊥x軸于點(diǎn)P，

∵點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，1），
∴CP=2-t，PD=2+t-2=t，EP=1，
由CE²+ED²=CD²，可得（2-t）²+1²+t²+1²=2²，
解得：t=1，
綜上可得當(dāng)t=0或t=1或t=2時(shí)，△DEC是直角三角形．

（3）如圖，作CE關(guān)于x軸的對(duì)稱線段，CE'，將CE'向右平移至FE''，當(dāng)FE''與AF共線時(shí)四邊形AECF的周長最小，

∵C（t，0），CD=2，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，
∴CF=1，點(diǎn)F（t+1，0），
設(shè)過A（4，2），E''（3，-1）兩點(diǎn)的直線表達(dá)式為y=kx+b，
則

4k+b=2 3k+b=-1

，
解得：

k=3 b=-10

，
則直線AE''的表達(dá)式為：y=3x-10，
當(dāng)點(diǎn)F（t+1，0）在直線AE''上時(shí)，3（t+1）-10=0，
解得：t=

7

3

，
則存在t=

7

3

，使得四邊形AECF的周長最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及了動(dòng)點(diǎn)問題、直角三角形及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及三點(diǎn)共線的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答第三問要注意兩點(diǎn)之間線段最短的運(yùn)用，要求同學(xué)們能將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通．