Question

已知拋物線y=-

1

4

x²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，最大值為3，此拋物線與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱軸BC與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1．求點(diǎn)A的坐標(biāo)及線段OC的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，連接BQ．
①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置．其中，一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一 個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上．求直線BQ的函數(shù)解析式；
②若含30°角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線BQ上（D不與Q重合）．另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的對(duì)稱軸方程可求出b的值，由拋物線的最小值可求出c的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式；
（2）把x=0代入拋物線求出y的值確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出拋物線的對(duì)稱軸得到OC的長(zhǎng)．
（3）①由△CDE是等腰直角三角形，分別過點(diǎn)D作x軸和PQ的垂線，通過三角形全等得到∠DQO=45°，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出BQ的解析式．
②分點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左右兩邊討論，根據(jù)相似三角形先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后代入拋物線求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

4

x²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴2b=1，
∴b=

1

2

，
又∵拋物線最大值為3，
∴3=-

1

4

×1+

1

2

×1+c，
∴c=

11

4

，
∴拋物線解析式為：y=-

1

4

x2+

1

2

x+

11

4

；

（2）把x=0代入拋物線得：y=

11

4

，
∴點(diǎn)A（0，

11

4

），
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，
∴OC=1；

（3）①如圖：∵此拋物線與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B
∴B（1，3）
分別過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，DN⊥PQ于點(diǎn)N，
∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
∴DMQN是矩形．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE，∠CDM=∠EDN
∴△CDM≌△EDN
∴DM=DN，
∴DMQN是正方形，
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q（4，0）
設(shè)BQ的解析式為：y=kx+b，
把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=-1，b=4．
所以直線BQ的解析式為：y=-x+4；
②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)，如圖：
過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，DN⊥PQ于N，
∵∠CDE=90°，
∴∠CDM=∠EDN，
∴△CDM∽△EDN，
當(dāng)∠DCE=30°，

DC

DE

=

DM

DN

=

3

，
又DN=MQ，
∴

DM

MQ

=

3

，
∴

BC

CQ

=

3

，BC=3，CQ=

3

，
∴Q（1+

3

，0），
∴P₁（1+

3

，

9

4

），
當(dāng)∠DCE=60°，點(diǎn)P₂（1+3

3

，-

15

4

）．
當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左邊時(shí)，由對(duì)稱性知：
P₃（1-

3

，

9

4

），P₄（1-3

3

，-

15

4

）
綜上所述：P₁（1+

3

，

9

4

），P₂（1+3

3

，-

15

4

），P₃（1-

3

，

9

4

），P₄（1-3

3

，-

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）利用拋物線與y軸的交點(diǎn)及對(duì)稱軸求出點(diǎn)A的坐標(biāo)和OC的長(zhǎng)．（2）①利用三角形全等確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出BQ的解析式．②根據(jù)三角形相似求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．