Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）只用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)，作出∠A的平分線AD和AB邊上的中線CE（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）；
（2）完成（1）題的作圖后，若AB=AC=2，在AD上存在一點(diǎn)P，可以使得BP+EP最小，作出這個(gè)點(diǎn)P（不必寫出理由），并寫出這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別作出∠A的平分線AD，再作出AB的垂直平分線，進(jìn)而得出AB邊上的中線CE；
（2）作E點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，進(jìn)而利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出BE′的長度即可．
解答：解：（1）如圖1所示：

（2）如圖2，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，AD是∠A的平分線，
∴AD⊥BC，AM=BM=MC，∠ACB=∠ABC=45°，BC==2，
∴AM=BM=CM=，
∴作E點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接BE′，交AD于點(diǎn)P，此時(shí)BP+EP最小，
過點(diǎn)E′作E′F⊥BC于點(diǎn)F，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴E′是AC中點(diǎn)，E′F∥AM，
∴E′F=FC=AM=，
∴BF=BM+MF=+=，
∴BE′==．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及基本作圖，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得出E′位置，進(jìn)而利用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．