Question

如圖，在△ABC中，矩形DEFG的邊DE在AB上運動，點F、G分別在BC、AC上，若∠ACB=90°，線段DM、EN分別為∠ADG和∠BEF的角平分線．求證：MG=NF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長FG，DM交于點H，易證∠HGM=∠NFE和∠H=∠FEN=45°，即可證明△EFN≌△HGM，根據(jù)全等三角形對應邊相等的性質(zhì)即可解題．

解答：證明：延長FG，DM交于點H，
∵FG∥AB，
∴∠A=∠HGM，
∵∠A+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，
∴∠A=∠CGF，
∵∠CGF+∠CFG=90°，∠CFG+∠NFE=90°，
∴∠CGF=∠NFE，
∴∠HGM=∠NFE，
∵DM是∠ADG平分線，EN是∠BEF平分線，
∴∠HDG=∠FEN=45°，
∴HG=DG=EF，∠H=45°，
在△EFN和△HGM中，

∠H=∠FEN=45° HG=EF ∠HGM=∠NFE

，
∴△EFN≌△HGM（ASA），
∴FM=FN．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△EFN≌△HGM是解題的關鍵．