Question

如圖，⊙O的半徑為3，直徑AB⊥弦CD，垂足為E，點F是BC的中點，那么EF²+OF²=

 

．

Answer 1

分析：連接AC，由直徑與弦垂直，得到三角形BCE為直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到EF等于BC的一半，再根據(jù)中位線定理得到OF等于AC的一半，然后由AB為直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到角ACB為直角即三角形ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理得到AC與BC的平方和等于直徑AB的平方，然后把所求的式子等量代換即可求出值．

解答：解：連接AC，
∵直徑AB⊥弦CD，
∴△BCE為直角三角形，
由F為BC的中點，得到EF為斜邊BC的中線，
∴EF=FB=

1

2

BC，
又∵點F為BC中點，
∴OF⊥BC，
∴∠OFB=90°，
在Rt△OFB中，
根據(jù)勾股定理得：FB²+OF²=OB²=9，
則EF²+OF²=9．
故答案為：9

點評：此題綜合考查了中位線定理，直角三角形及圓的有關(guān)性質(zhì)．在圓中已知直徑一般作輔助線形成直徑所對的圓周角，構(gòu)建直角三角形，借助直角三角形的有關(guān)知識解決數(shù)學問題．