Question

如圖，點A、B是雙曲線y=(k＞0)上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于點G，得到正方形OCGF(陰影部分)，且S_陰影＝1，△AGB的面積為2．

(1)求雙曲線的解析式；

(2)在雙曲線上移動點A和點B，上述作圖不變，得到矩形OCGF(陰影部分)，點A、B在運動過程中始終保持S_陰影＝1不變(如圖)，則△AGB的面積是否會改變？說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵四邊形OCGF是正方形，∴OC＝CG＝GF＝OF，∠CGF＝90°． 　　∵OC2＝，∴OC＝CG＝GF＝OF＝1．　　1分 　　∴點A的橫坐標為1，點B縱坐標為1． 　　∵點、是雙曲線上的點， 　　∴點A的縱橫坐標為，點B橫坐標為． 　　∴AC＝，BF＝． 　　∴AG＝－1，BG＝－1．　　3分 　　∵∠AGB＝∠CGF＝90°， 　　∴S△AGB ＝AG·BG＝＝2．　　4分 　　解得＝3(取正值)． 　　∴反比例函數(shù)的解析式為．　　6分 　　(2)點A、B在運動過程中△AGB的面積保持不變，理由如下： 　　設(shè)矩形OCGF的邊OC＝m，∵＝ OC·OF＝1，∴OF＝． 　　∴點A的橫坐標為m，點B縱坐標為．　　7分 　　∵點、是雙曲線上的點， 　　∴點A的縱橫坐標為，點B橫坐標為．　　8分 　　∴AC＝，BF＝3m．又FG＝OC＝m，CG＝OF＝． 　　∴AG＝ AC－CG＝－＝，BG＝BF－FG＝3m－m＝2m．　　10分 　　∴S△AGB ＝AG·BG＝··2m＝2． 　　∴點A、B在運動過程中△AGB的面積保持不變．　　12分