Question

把一個(gè)多邊形沿著幾條直線剪開，分割成若干個(gè)多邊形．分割后的多邊形的邊數(shù)總和比原多邊形的邊數(shù)多13條，內(nèi)角和是原多邊形內(nèi)角和的1.3倍．求：
（1）原來的多邊形是幾邊形？
（2）把原來的多邊形分割成了多少個(gè)多邊形？

Answer 1

解：設(shè)原多邊形的邊數(shù)是n，分割成邊數(shù)為a₁，a₂，…，a_m的m個(gè)多邊形，則m個(gè)多邊形的總邊數(shù)為a₁+a₂+…+a_m，由題意有
a₁+a₂+…+a_m=n+13，
180（a₁-2）+180（a₂-2）+…+180（a_m-2）=1.3×180（n-2），
則3n+20m=156，
解得：m=6，n=12．
故原來的多邊形是12邊形，把原來的多邊形分割成了6個(gè)小多邊形．
分析：把多邊形沿直線剪開，每增加一個(gè)多邊形，邊數(shù)的增加會(huì)出現(xiàn)以下三種情況：①當(dāng)直線經(jīng)過兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，增加兩條邊；②當(dāng)直線經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，增加三條邊；③當(dāng)直線不經(jīng)過頂點(diǎn)時(shí)，增加四條邊．于是，當(dāng)將原多邊形分割成4個(gè)小多邊形，最多可以增加4×3=12條邊，當(dāng)將原多邊形分割成8個(gè)小多邊形，最少可以增加2×7=14條邊．所以分割后的多邊形的個(gè)數(shù)是5，6，7中的一個(gè)．設(shè)原多邊形的邊數(shù)是n，分割成邊數(shù)為a₁，a₂，…，a_m的m個(gè)多邊形，則m個(gè)多邊形的總邊數(shù)為a₁+a₂+…+a_m由題意，可得方程a₁+a₂+…+a_m=n+13，
180（a₁-2）+180（a₂-2）+…+180（a_m-2）=1.3×180（n-2），再整理可得3n+20m=156，再討論出二元一次方程的整數(shù)解即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了多邊形，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式180°（n-2）．