Question

已知：AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC交⊙O于G，∠ACB的平分線交⊙O于D，E在AC上，BE交AD于F，∠CBD=∠EBD．求證：DF=DG．

Answer 1

【答案】分析：由弦切角定理，易求得∠CBD=∠BAD，而∠CBD=∠EBD，即∠EBD=∠BAD；Rt△ABD中，易證得∠ABD=∠BFD；由于四邊形AGDB內接于⊙O，則∠CGD=∠BFD=∠ABD；
由于D是∠EBC和∠BCE角平分線的交點，因此D是△BEC的內心，過D作DM⊥BF于M，DN⊥CG于N；則DM=DN，易證得Rt△DMF≌Rt△DNG，由此可證得DF=DG．
解答：證明：∵CB是⊙O的切線，
∴∠CBD=∠BAD．
∵BD平分∠EBC，
∴∠CBD=∠EBD．
Rt△ABD中，∠EBD+∠BFD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠BFD=∠ABD．
又∵四邊形AGDB內接于⊙O，
∴∠CGD=∠ABD=∠BFD．
過D作DM⊥BE于M，DN⊥AC于N，
∵點D是∠EBC和∠ECB角平分線的交點，
∴點D是△EBC的內心，則DM=DN．
又∵∠DMF=∠DNG=90°，∠BFD=∠CGD，
∴△DMF≌△DNG．
∴DF=DG．
點評：本題考查了切線的性質、圓內接四邊形的性質、圓周角定理、三角形的內心及全等三角形的判定和性質等，涉及的內容較多，難度較大．