Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線CM，D是CM上一點，連接BD，且∠DBC=∠CAB．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）連接OD，若∠ABC=30°，OA=4，求OD的長．

Answer 1

解：（本題滿分6分）
（1）證明：
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵∠DBC=∠CAB，
∴∠DBC+∠ABC=90°，
即∠ABD=90°．
∴BD是⊙O的切線．

（2）解：連接OC，OD．
∵DC，DB是⊙O切線，
∴DC=DB．
∵OC=OB，
∴OD垂直平分BC，
∴∠DBC+∠BDE=90°；
∵∠DBC+∠ABC=90°，
∴∠BDE=∠ABC；
∵∠ABC=30°，
∴∠BDE=30°，
∴OB=OD；
∵OB=OA=4，
∴OD=8．
分析：（1）要證明BD是⊙O的切線，就是證明∠ABD=90°，通過直徑所對的圓周角是直角得到∠ACB=90°，再進行角度代換即可．
（2）連DO，這也是常作的輔助線，再通過特殊角找到OD與OB的關(guān)系．
點評：熟練掌握運用切線的判定定理證明圓的切線．學會圓的常見輔助線的作法．記住30°所對的直角邊是斜邊的一半．