Question

19．已知D為△ABC邊BC上的一個動點（不與B，C重合），過D作DE∥AC交AB于點E，作DF∥AB交AC于點F．
（1）證明：△BDE∽△DCF；
（2）若△ABC的面積為10，點G為線段AF上的任意一點，設FC：AC=n，△DEG的面積為S，求S關于n的關系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據相似三角形的判定證明即可；
（2）根據相似三角形的性質和二次函數的最值解答即可．

解答 解：（1）∵DF∥AB，
∴△DFC∽△BAC，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC
∴△DFC∽△BED；
（2）∵△BED∽△DFC∽△BAC，FC：AC=n，△ABC的面積為10，
∴${（\frac{CF}{CA}）^2}=\frac{{{S_{△DFC}}}}{10}$，${S_{△DFC}}=10{n^2}$，${（\frac{BD}{BC}）^2}=\frac{{{S_{△DEB}}}}{10}$，${S_{△DEB}}=10{（1-n）^2}$，${S_{AEDF}}=10-10{n^2}-10{（1-n）^2}$，
∵點G為線段AF上的任意一點，$S=\frac{1}{2}{S_{AEDF}}$，
∴S=-10n²+10n=-10$（n-\frac{1}{2}）^{2}+2.5$，
∴S的最大值是2.5．

點評 此題考查相似三角形的綜合題，關鍵是根據相似三角形的判定和性質進行解答．