Question

如圖，在△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E為垂足，連接AE．
（1）寫出圖中所有相等的線段，并選擇其中一對給予證明．
（2）若AD=1，求BE的長．

Answer 1

解：（1）ED=DA，EA=EC=BE（2分）
證明：∵CE⊥BD，∴△CED是直角三角形（3分）
∵∠BDC=60°，∴∠ECD=30°．（4分）
∴CD=2DE．（5分）
∵CD=2DA，∴DE=DA．（6分）

（2）在Rt△ECD中，
DE=DA=1，∠BDC=60°，
∴CE=，
∴BE=（10分）
分析：（1）由∠BDC=60°，CE⊥BD，求得∠ECD=30°，根據(jù)直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得CD=2ED，又由CD=2DA，即可證得ED=DA；
（2）利用（1）的結(jié)果ED=DA=1，在直角三角形CDE中，∠BDC=60°，ED=1，利用特殊角的三角函數(shù)值求得CE=；又有EA=EB=EC，所以BE=．
點評：本題綜合考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形、解直角三角形．此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，相似三角形的對應(yīng)邊成比例，直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半定理的應(yīng)用．