Question

已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0）、B（0，b），a、b滿足．C為AB的中點(diǎn)，P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，D是x軸正半軸上一點(diǎn)，且PO=PD，DE⊥AB于E．
（1）求∠OAB的度數(shù)；
（2）設(shè)AB=6，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，PE的值是否變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值；
（3）設(shè)AB=6，若∠OPD=45°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得：，
解得：a=b=3，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=90°
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°．
解（2）PE的值不變．理由如下：
∵△AOB為等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=45°
又∵OC⊥AB于C，
∵PO=PD
∴∠POD=∠PDO
又∵∠POD=45°+∠POC∠PDO=45°+∠DPE，
∴∠POC=∠DPE
在△POC和△DPE中，

∴△POC≌△DPE，
∴OC=PE
又
∴PE=3；
（3）∵OP=PD，
∴∠POD=∠PDO===67.5°，
則∠PDA=180°-∠PDO=180°-67.5°=112.5°，
∵∠POD=∠A+∠APD，
∴∠APD=67.5°-45°=22.5°，
∴∠BPO=180°-∠OPD-∠APD=112.5°，
∴∠PDA=∠BPO
則在△POB和△DPA中，
，
∴△POB≌△DPA．
∴PA=OA=3，
∴DA=PB=6-3，
∴OD=OA-DA=3-（6-3）=6-6
∴．
分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求得a，b的值，從而得到△AOB是等腰直角三角形，據(jù)此即可求得；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)可以得到∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，則OC=PE，OC的長度根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以求得；
（3）利用等腰三角形的性質(zhì)，以及外角的性質(zhì)證得∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可求得OD的長，從而求得D的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△POB≌△DPA是解題的關(guān)鍵．