Question

17．如圖，在正方形ABCD中，BD是一條對角線，P是邊BC上一點，連接AP，平移△ABP，使點B移動到點C，得到△DCQ，過點Q作QH⊥BD于點H，連接AH，PH．請判斷出AH與PH的數(shù)量關系與位置關系并加以證明．

Answer 1

分析 連接CH，證明△HBP≌△HQC（SAS），得到PH=CH，∠BHP=∠QHC，再證明△HAB≌△HCB，得到AH=CH，∠AHB=∠CHB，即可得到AH=PH，AH⊥PH．

解答 解：AH=PH，AH⊥PH．
如圖，連接CH，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠HBQ=45°，
∵QH⊥BD，
得到：∠HBQ=∠HQB=45°，
∴HB=HQ，
由平移得BP=CQ，
在△HBP和△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{HB=HQ}\\{∠HBP=∠HQC}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$
∴△HBP≌△HQC（SAS），
∴PH=CH，∠BHP=∠QHC，
在△HAB和△HCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABH=∠CBH}\\{BH=BH}\end{array}\right.$
∴△HAB≌△HCB，
∴AH=CH，∠AHB=∠CHB，
∴AH=PH，
由∠BHP=∠QHC，∠AHB=∠CHB，
得到：∠AHB+∠BHP=90°即AH⊥PH．
∴AH=PH，AH⊥PH．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關鍵是證明△HBP≌△HQC，△HAB≌△HCB．