Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）AD=2，DB=3，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，CD，求出DE=CE=BE，推出∠1+∠3=∠2+∠4，求出∠ACB=∠ODE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）由△BCD∽△BAC，得$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，求出BC，根據(jù)DE=$\frac{1}{2}$BC即可解決問題．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，CD，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=180°-∠ADC=90°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=CE，
∴∠1=∠2．
∵OC=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠ACB=∠ODE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是半徑，
∴DE是⊙O的切線．
（2）解：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴BC²=15，
∵BC＞0，
∴BC=$\sqrt{15}$，
∵DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是這些知識(shí)的靈活運(yùn)用，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．