Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=4，E為BC中點，AE平分∠BAD，連接DE，則sin∠ADE的值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：做EF⊥AD于點F，AG⊥CD于點G，由題中條件可證明△ABE≌△AFE和△EDF≌△EDC，從而根據(jù)線段之間的等量關系可知AF=AB=1，EF=BE=EC=BC=2，F(xiàn)D=CD，又在矩形ABCG中，GC=AB=1，AG=BC=4，所以根據(jù)勾股定理可得DG²=AD²-AG²，
即（CD-CG）²=（AF+DF）²-AG²，進而求出DE長，那么sin∠ADE的值即可解答．
解答：解：做EF⊥AD于點F，AG⊥CD于點G
∵∠BAE=∠FAE，∠B=∠AFE=90°
∴△ABE≌△AFE
∴AF=AB=1，EF=BE=EC=BC=2
∵EF=EC，DE=DE，∠C=∠DFE=90°
∴△EDF≌△EDC
∴∠EDF=∠EDC，F(xiàn)D=CD，
∵四邊形ABCG是矩形，GC=AB=1，AG=BC=4
∴DG²=AD²-AG²，
即（CD-CG）²=（AF+DF）²-AG²
代入數(shù)值，解得，CD=4
∴DE²=CD²+CE²
∴DE=2
∴sin∠EDF=sin∠EDC==．
故選B．
點評：本題通過作輔助線，構造全等三角形，利用全等三角形的性質：對應邊相等，對應角相等；以及勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念來求解的．