Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（b，c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限．

（1）如圖，若該拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，且與AC交于另一點(diǎn)Q．

（i）若點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（ii）取BC的中點(diǎn)N，連接NP，BQ．試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，﹣1）．

∵拋物線過(guò)A（0，﹣1），B（4，﹣1）兩點(diǎn)，

∴，解得。

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：。

（2）（i）∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直線AC的解析式為：y=x﹣1。

設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為P₀，則由（1）可得P₀的坐標(biāo)為（2，1），且P₀在直線AC上。

∵點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，∴可設(shè)P的坐標(biāo)為（m，m﹣1）。

則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：。

解方程組：，解得，。

∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）。

過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥y軸，則

PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2，

∴PQ==AP₀。

若△MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

①當(dāng)PQ為直角邊時(shí)：點(diǎn)M到PQ的距離為（即為PQ的長(zhǎng)），

由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P₀（2，1）可知，

△ABP₀為等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=。

如答圖1，過(guò)點(diǎn)B作直線l₁∥AC，交拋物線于點(diǎn)M，則M為符合條件的點(diǎn)。

∴可設(shè)直線l₁的解析式為：y=x+b₁。

∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b₁，解得b₁=﹣5。∴直線l₁的解析式為：y=x﹣5。

解方程組，得：，。

∴M₁（4，﹣1），M₂（﹣2，﹣7）。

②當(dāng)PQ為斜邊時(shí)：MP=MQ=2，可求得點(diǎn)M到PQ的距離為．

如答圖1，取AB的中點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣1）。

由A（0，﹣1），F(xiàn)（2，﹣1），P₀（2，1）可知：

△AFP₀為等腰直角三角形，且點(diǎn)F到直線AC的距離為。

過(guò)點(diǎn)F作直線l₂∥AC，交拋物線于點(diǎn)M，則M為符合條件的點(diǎn)。

∴可設(shè)直線l₂的解析式為：y=x+b₂，

∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b₂，解得b₁=﹣3。∴直線l₂的解析式為：y=x﹣3。

解方程組，得：，。

∴M₃（，），M₄（，）。

綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

M₁（4，﹣1），M₂（﹣2，﹣7），M₃（，），M₄（，）。

（ii）存在最大值。理由如下：

由（i）知PQ=為定值，則當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí)，有最大值。

如答圖2，取點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，3），BQ=B′Q。

連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四邊形PQFN為平行四邊形。

∴NP=FQ。

∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′。

∴當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，最小值為。

∴的最大值為。

【解析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

（2）（i）首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長(zhǎng)度，作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ)。

若△MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

①當(dāng)PQ為直角邊時(shí)：點(diǎn)M到PQ的距離為．此時(shí)，將直線AC向右平移4個(gè)單位后所得直線（y=x﹣5）與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之M點(diǎn)。

②當(dāng)PQ為斜邊時(shí)：點(diǎn)M到PQ的距離為．此時(shí)，將直線AC向右平移2個(gè)單位后所得直線（y=x﹣3）與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之M點(diǎn)．

（ii）由（i）可知，PQ=為定值，因此當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí)，有最大值。如答圖2所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，由解析可知，當(dāng)B′、Q、F（AB中點(diǎn)）三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，最小值為線段B′F的長(zhǎng)度。