Question

在平面直角坐標(biāo)系中，給定以下五點(diǎn)A（-2，0），B（1，0），C（4，0），D（-2，

9

2

），E（0，-6）．從這五點(diǎn)中選取三點(diǎn)，使經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的拋物線(xiàn)滿(mǎn)足以平行于y軸的直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸．我們約定：把經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A、E、B的拋物線(xiàn)表示為拋物線(xiàn)AEB．（如圖所示）
（1）問(wèn)符合條件的拋物線(xiàn)還有哪幾條？不求解析式，請(qǐng)用約定的方法一一表示出來(lái)；
（2）在（1）中是否存在這樣的一條拋物線(xiàn)，它與余下的兩點(diǎn)所確定的直線(xiàn)不相交？如果存在，試求出拋物線(xiàn)及直線(xiàn)的解析式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）經(jīng)過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，就可以作出一條拋物線(xiàn)．
（2）存在拋物線(xiàn)DBC，它與直線(xiàn)AE不相交，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線(xiàn)的解析式．

解答：解：（1）符合條件的拋物線(xiàn)還有5條，分別如下：
①拋物線(xiàn)AEC；
②拋物線(xiàn)CBE；
③拋物線(xiàn)DEB；
④拋物線(xiàn)DEC；
⑤拋物線(xiàn)DBC．

（2）在（1）中存在拋物線(xiàn)DBC，它與直線(xiàn)AE不相交．
設(shè)拋物線(xiàn)DBC的解析式為y=ax²+bx+c，
將D（-2，

9

2

），B（1，0），C（4，0）三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，
得：4a-2b+c=

9

2

，a+b+c=0，16a+4b+c=0，
解這個(gè)方程組，得：a=

1

4

，b=-

5

4

，c=1，
∴拋物線(xiàn)DBC的解析式為y=

1

4

x²-

5

4

x+1．
另法：設(shè)拋物線(xiàn)為y=a（x-1）（x-4），代入D（-2，

9

2

），得a=

1

4

也可．
又設(shè)直線(xiàn)AE的解析式為y=mx+n．將A（-2，0），E（0，-6）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，
得：-2m+n=0，n=-6．
解這個(gè)方程組，得m=-3，n=-6．
則直線(xiàn)AE的解析式為y=-3x-6，
將y=-3x-6代入y=

1

4

x²-

5

4

x+1中，整理得x²+7x+28=0，
∵△=7²-4×28=-63＜0，
∴拋物線(xiàn)DBC與直線(xiàn)AE不相交．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，已知不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)就可以確定一條拋物線(xiàn)．