【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)B(-2,0),點(diǎn)C(8,0),與y軸交于點(diǎn)A.

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達(dá)式;

(2)連接AC,AB,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B,C重合),過點(diǎn)N作NMAC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)AMN面積最大時(shí),求N點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)連接OM,在(2)的結(jié)論下,求OM與AC的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)N(3,0);(3)OM=AC.

【解析】

試題分析:(1)由B、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2)可設(shè)N(n,0),則可用n表示出ABN的面積,由NMAC,可求得,則可用n表示出AMN的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時(shí)n的值,即可求得N點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)由N點(diǎn)坐標(biāo)可求得M點(diǎn)為AB的中點(diǎn),由直角三角形的性質(zhì)可得OM=AB,在RtAOB和RtAOC中,可分別求得AB和AC的長,可求得AB與AC的關(guān)系,從而可得到OM和AC的數(shù)量關(guān)系.

試題解析:(1)將點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+4可得

,

解得

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+x+4;

(2)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0)(﹣2n8),

則BN=n+2,CN=8﹣n.

B(﹣2,0),C(8,0),

BC=10,

在y=﹣x2+x+4令x=0,可解得y=4,

點(diǎn)A(0,4),OA=4,

SABN=BNOA=(n+2)×4=2(n+2),

MNAC,

,

0,

當(dāng)n=3時(shí),即N(3,0)時(shí),AMN的面積最大;

(3)當(dāng)N(3,0)時(shí),N為BC邊中點(diǎn),

MNAC,

M為AB邊中點(diǎn),

OM=AB,

AB=,AC=,

AB=AC,

OM=AC.

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