Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=5∠ACB，BD與∠A的平分線垂直于H，DE⊥BC，若M是BC邊的中點(diǎn)，求證：（1）∠DBC=2∠C；（2）EM=BD．

Answer 1

證明：（1）在RT△ABH和RT△ADH中，
，
∴△ABH≌△ADH（ASA），
∴∠ADH=∠ABH，BH=DH，
∵∠ADB=∠C+∠DBC（三角形的外角性質(zhì)），∠ABC=∠ABD+∠DBC=5∠ACB，
∴∠C+∠DBC+∠DBC=5∠C，
故有∠DBC=2∠C．

（2）連接HM、HE，
∵M(jìn)是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥BC，
∴HM是△BDC的中位線，HE=HD=HB，
∴∠DBC=∠HEB，
由（1）得，∠DBC=∠HEB=2∠C=2∠HME，
又∵∠HEB=∠HME+∠EHM（三角形的外角的性質(zhì)），
∴∠HME=∠EHM，
∴HE=EM=BD．
分析：（1）可先證△ABH≌△ADH，這樣得出∠ADH=∠ABH，BH=DH，利用三角形的外角可得∠ADB=∠C+∠DBC，再結(jié)合∠ABC=∠ABD+∠DBC=5∠ACB，可證得結(jié)論．
（2）連接HM、HE，則可得HM是△BDC的中位線，HE=HD=HB，結(jié)合（1）∠DBC=2∠C=2∠HME，可得出∠HME=∠EHM，即得出HE=EM，轉(zhuǎn)化后即可得出所要證的結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的中位線定理、線段垂直平分線的性質(zhì)及直角三角形的斜邊中線，屬于綜合型題目，有一定的難度，解答本題有兩點(diǎn)比較關(guān)鍵，①利用中垂線的性質(zhì)得出△ABH≌△ADH，②掌握直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半得出HE=HD=HB=BD，另外角的性質(zhì)在本題中了得到了應(yīng)用．