Question

如圖，Rt△ABC中，斜邊AB在x軸上，C點在y軸上，A點坐標為（-2，0），B點坐標為（8，0），
（1）直接寫出點C的坐標：

（0，-4）

，并求出經(jīng)過點A、B、C的拋物線解析式．
（2）若拋物線的對稱軸DE交BC于D，在對稱軸上存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與△ABC相似，請直接寫出點P的坐標：

（3，-4）或（3，-10）

．
（3）在拋物線的BC段上有一動點M，當M在什么位置時，△BCM的面積最大？并求此時△BCM的面積．

Answer 1

分析：（1）易得△AOC∽△COB，根據(jù)對應(yīng)邊成比例可求出OC，繼而得出點C的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）分兩種情況討論，①∠CPD=90°，②∠PCD=90°，確定點P的縱坐標，即可得出答案．
（3）在拋物線的BC段上取點M，連接MC，MB，作MN⊥AB交BC于N，設(shè)點M的坐標為（x，

1

4

（x-8）（x-2）），求出直線BC的解析式，可表示出點N的坐標，繼而得出MN的長度，再由△BCM的面積=

1

2

MN×OB，可得出S_△BCM關(guān)于x的表達式，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）∵∠ACO+∠BCO=90°，∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

AO

CO

=

CO

OB

，即

2

OC

=

OC

8

，
∴OC=4，
故點C的坐標為：（0，-4）；
依題意可設(shè)經(jīng)過點A、B、C的拋物線解析式為：y=a（x-8）（x+2），
將C的坐標：（0，-4）代入得-4=a（0-8）（0+2），
解得：a=

1

4

，
故過點A、B、C的拋物線解析式為：y=

1

4

（x-8）（x+2）．

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將B、C的坐標代入得：

8k+b=0 b=-4

，
解得：

k= 1 2 b=4

，
故直線BC的解析式為：y=

1

2

x-4，
拋物線解析式為y=

1

4

（x-8）（x+2）=

1

4

（x-3）²-

25

4

，
則拋物線的對稱軸為：x=3，
∴點D的坐標為（3，-

5

2

），

①若∠CPD=90°，
此時∠CDP₁=∠BDE=∠BAC，
∴△ABC∽△DCP₁，
∴

DP1

AC

=

CP1

BC

，即

DP1

2 5

=

3

4 5

，
解得：DP₁=

3

2

，
故P₁的坐標為（3，-4）；
若∠PCD=90°，此時∠P₂DC=∠BDE=∠BAC，
∴△ABC∽△DP₂C，
∴∠CP₂P₁=∠ABC，
∴△CP₂P₁∽△COB，
∴

CP1

OC

=

P1P2

OB

，即

3

4

=

P1P2

8

，
解得：P₁P₂=6，
故P₂的坐標為：（3，-10）；
綜上可得：點P的坐標為：（3，-4）或（3，-10）．

（3）在拋物線的BC段上取點M，（如圖）連接MC，MB，作MN⊥AB交BC于N，

設(shè)M的坐標為（x，

1

4

（x-8）（x-2）），N的坐標為（x，

1

2

x-4），
則MN=

1

2

x-4-

1

4

(x-8)(x+2)=-

1

4

x2+2x，
∴S_△BCM=

1

2

MN×OB=-x²+8x=-（x-4）²+16，
∵a=-1＜0，
∴當x=4時，△BCM的面積最大，最大為16．
此時M的坐標為（4，-6）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)及配方法求最值的知識，綜合性較強，解答本題需要具有扎實的基本功，將所學知識融會貫通，注意分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的運用．