Question

如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B、C，點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）若P是拋物線上一點(diǎn)，且S_△ABP=S_△ABC，這樣的點(diǎn)P有______個．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線BC的解析式，可求得B、C的坐標(biāo)，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定拋物線的解析式；
（2）令拋物線的解析式中y=0，即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，以AB為底，OC為高即可得到△ABC的面積；
（3）△ABP和△ABC同底，那么面積比等于高的比，所以P點(diǎn)到AB的距離是OC長的一半，由此可求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值，在x軸上、下方的拋物線上各有兩個符合條件的P點(diǎn)，所以共有4個．
解答：解：（1）∵直線y=-x+3經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，∴B（3，0），C（0，3）；
已知拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，則有：
，
解得；
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）令（1）所得的拋物線中y=0，得-x²+2x+3=0，
解得x=-1，x=3；
∴A（-1，0），
又∵B（3，0），C（0，3），
∴AB=4，OC=3；
S_△ABC=AB•OC=×4×3=6；

（3）∵S_△ABC=AB•OC，S_△ABP=AB•|y_P|，且S_△ABP=S_△ABC，
∴|y_P|=OC=1.5，
即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±1.5；
由函數(shù)的圖象知，符合條件的P點(diǎn)共有4個．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及三角形面積的求法．