Question

求使關(guān)于x的二次方程（a+1）x²-（a²+1）x+2a³-6=0有整數(shù)根的所有整數(shù)a．

Answer 1

當(dāng)a=-1時(shí)，原方程化為-2x-2-6=0，此時(shí)x=-4；
當(dāng)a≠-1時(shí)，判別式△=（a²+1）²-4（a+1）（2a³-6）=-7a⁴-8a³+2a²+24a+25，
若a≤-2，則△=-a²（7a²+8a-2）+24（a+1）+1＜24（a+1）+1＜0，方程無(wú)根；
若a≥2，則△=-8a（a²-3）-a²（7a²-2）+25＜-a²（7a²-2）+25＜0，方程亦無(wú)根；
故-2＜a＜2，
又因?yàn)閍為整數(shù)，則a只能取-1，0，1，而a≠-1，則a在0，1中取值：
當(dāng)a=0時(shí)，方程可化為x²-x-6=0，解得x₁=3，x₂=-2；
當(dāng)a=1時(shí)，方程可化為x²-x-2=0，解得x₁=2，x₂=-1．
綜上所述，關(guān)于x的二次方程（a+1）x²-（a²+1）x+2a³-6=0，當(dāng)a=0，1時(shí)，方程有整數(shù)根．