Question

13．設(shè)$\overline{abc}$是十進(jìn)制中的素?cái)?shù)，證明：b²-4ac不是完全平方數(shù)．

Answer 1

分析 采用反證法．假設(shè)存在一個(gè)十進(jìn)制的質(zhì)數(shù)$\overline{abc}$，使得b²-4ac為平方數(shù)．分別得到f（x）=ax²+bx+c=0①．已知條件意味著p=f（10）=a×10²+b×10+c=$\overline{abc}$是一個(gè)質(zhì)數(shù)方程①的兩個(gè)根x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$②，取x=10，得p=a（10-x₁）（10-x₂）③．將式兩邊同乘以4a得 4ap=（20a-2ax₁）（20a-2ax₂）④．結(jié)合式④，導(dǎo)出|20a-2ax₂|≤4a⑤．由式②推出式⑤不可能成立，矛盾，從而證明結(jié)論．

解答 證明：采用反證法．
假設(shè)存在一個(gè)十進(jìn)制的質(zhì)數(shù)$\overline{abc}$，使得b²-4ac為平方數(shù)．注意到求證結(jié)果的形式，可考慮（輔助的）二次方程
f（x）=ax²+bx+c=0①．
已知條件意味著 p=f（10）=a×10²+b×10+c=$\overline{abc}$是一個(gè)質(zhì)數(shù)．
由于b²-4ac是完全平方數(shù)，
故方程①的兩個(gè)根x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$②
均為有理數(shù)．于是，
ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）．
取x=10，
得p=a（10-x₁）（10-x₂）③．
由式②可知2ax₁、2ax₂均是整數(shù)．
將式兩邊同乘以4a得 4ap=（20a-2ax₁）（20a-2ax₂）④．
因p是質(zhì)數(shù)，所以，式④右邊的兩個(gè)因子中必有一個(gè)被p整除，不妨設(shè)20a-2ax₁是p的倍數(shù)．
注意到20a-2ax₁≠0，
故|20a-2ax₁|≥p．
結(jié)合式④，導(dǎo)出|20a-2ax₂|≤4a⑤．
但由式②易知x₂≤0．
從而，式⑤不可能成立，矛盾．

點(diǎn)評(píng) 考查了完全平方數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)，當(dāng)題目條件中出現(xiàn)形如b²-4ac一類平方與積的差的形式的式子時(shí)常利用判別式構(gòu)造方程．