Question

（2012•宜昌模擬）拋物線y=ax²和直線y=kx+b（k為正常數(shù)）交于點A和點B，其中點A的坐標是（-2，1），過點A作x軸的平行線交拋物線于點E，點D是拋物線上B．E之間的一個動點，設其橫坐標為t，經過點D作兩坐標軸的平行線分別交直線AB于點C．B，設CD=r，MD=m．
（1）根據(jù)題意可求出a=

1

4

，點E的坐標是

（2，1）

．
（2）當點D可與B、E重合時，若k=0.5，求t的取值范圍，并確定t為何值時，r的值最大；
（3）當點D不與B、E重合時，若點D運動過程中可以得到r的最大值，求k的取值范圍，并判斷當r為最大值時m的值是否最大，說明理由．（下圖供分析參考用）

Answer 1

分析：（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征知，點A的坐標滿足拋物線的解析式，所以把點A的坐標代入拋物線的解析式，即可求得a的值；由拋物線y=ax²的對稱性知，點A、點E關于y軸對稱；
（2）根據(jù)拋物線與直線的解析式求得點B的坐標為（4，4），則t的最小值是點E的橫坐標，t的最大值是點B的橫坐標；由于點C在直線y=

1

2

x+2上，點D在拋物線y=

1

4

x²上，CD∥x軸，所以D（t，

1

4

t²），C（

t2-8

2

，

1

4

t²）；最后由兩點間的距離公式求得r=|

1

2

（t-1）²-

9

2

|（2≤t≤4），所以根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來求當r取最大值時t的值；
（3）①設D（t，

1

4

t²）．由一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得點C的坐標為（

1

4k

t²-

b

k

，

1

4

t²）．然后根據(jù)兩點間的距離公式知r=-

1

4k

（t-2k）²+k+

b

k

，易知當t=2k時，r取最大值．
②根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b中的k的幾何意義知k=

MD

CD

=

m

r

，即m=kr=-

1

4

（t-2k）²+k²+b，顯然，當t=2k時，m取最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意知，點A（-2，1）在拋物線y=ax²上，
∴1=（-2）²a，
解得，a=

1

4

．
∵拋物線y=ax²關于y軸對稱，AE∥x軸，
∴點A、E關于y軸對稱，
∴E（2，1）．
故答案是：

1

4

，（2，1）．

（2）∵點A（-2，1）在直線y=kx+b（k為正常數(shù)）上，k=0.5，
∴1=-2×0.5+b，
解得，b=2，
即直線AB的解析式為y=

1

2

x+2．
∵由（1）知，拋物線的解析式y(tǒng)=

1

4

x²，拋物線y=

1

4

x²和直線y=

1

2

x+2（k為正常數(shù)）交于點A和點B，
∴

y= 1 4 x2 y= 1 2 x+2

，
解得，

x=-2 y=1

或

x=4 y=4

，
∴它們的交點坐標是（-2，1），（4，4），即B（4，4）．
當點D與點E重合時，t=2．當點D與點B重合時，t=4，
∴t的取值范圍是：2≤t≤4．
∵點C在直線y=

1

2

x+2上，點D在拋物線y=

1

4

x²上，CD∥x軸，
∴D（t，

1

4

t²），C（

t2-8

2

，

1

4

t²），
∴r=t-

t2-8

2

=-

1

2

（t-1）²+

9

2

（2≤t≤4）．
∵在2≤t≤4范圍內，r隨t的增大而減小，
∴當t=2時，r_最大=4．即當t=2時，r取最大值．

（3）∵點A、B是直線與拋物線的交點，
∴kx+b=

1

4

x²，即x²-4kx-4b=0，
∴x_A+x_B=4k．
∵x_A=-2，
∴x_B=4k+2．
又∵點D不與B、E重合，
∴2＜t＜4k+2．
設D（t，

1

4

t²），則點C的縱坐標為

1

4

t²，將其代入y=kx+b中，得x=

1

4k

t²-

b

k

，
∴點C的坐標為（

1

4k

t²-

b

k

，

1

4

t²），
∴r=CD=t-（

1

4k

t²-

b

k

）=-

1

4k

（t-2k）²+k+

b

k

，
當t=2k時，r取最大值．
∴2＜2k＜4k+2，
解得，k＞1．
又∵k=

MD

CD

=

m

r

，
∴m=kr=-

1

4

（t-2k）²+k²+b，
∴當t=2k時，m的值也最大．
綜上所述，當r為最大值時m的值也是最大．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點由待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)（二次函數(shù)）圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)最值的求法等．求二次函數(shù)最值時，此題采用了“配方法”．