【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P是三角形右外一點(diǎn),且∠APB=∠ABC.

(1)如圖1,若∠BAC=60°,點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上,PA=2,求PB的長(zhǎng);

(2)如圖2,若∠BAC=60°,探究PA,PB,PC的數(shù)量關(guān)系,并證明;

(3)如圖3,若∠BAC=120°,請(qǐng)直接寫(xiě)出PA,PB,PC的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)BP=4;(2)PA+PC=PB;(3)PA+PC=PB.

【解析】

試題分析:(1)AB=AC,∠BAC=60°,證得△ABC是等邊三角形,∠APB=∠ABC,得到∠APB=60°,又點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上,得到∠ABP=30°,得到直角三角形,利用直角三角形的性質(zhì)解出結(jié)果.

(2)在BP上截取PD,使PD=PA,連結(jié)AD,得到△ADP是等邊三角形,再通過(guò)三角形全等證得結(jié)論.

(3)以A為圓心,以AP的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BP于D,連接AD,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BP交BP于F,得到等腰三角形,然后通過(guò)三角形全等證得結(jié)論.

試題解析:解:(1)∵AB=AC,∠BAC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,∠APB=∠ABC,

∴∠APB=60°,

又∵點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上,

∴∠ABP=30°,

∴∠PAB=90°,

∴BP=2AP,

∵AP=2,

∴BP=4;

(2)結(jié)論:PA+PC=PB.

證明:如圖1,在BP上截取PD,使PD=PA,連結(jié)AD,

∵∠APB=60°,

∴△ADP是等邊三角形,

∴∠DAP=60°,

∴∠1=∠2,PA=PD,

又AB=AC,

∴△ABD≌△ACP,

∴PC=BD,

∴PA+PC=PB;

(3)結(jié)論:PA+PC=PB.

證明:如圖2,以A為圓心,以AP的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BP于D,連接AD,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BP交BP于F,

∴AP=AD,

∵∠BAC=120°,

∴∠ABC=30°,

∴∠APB=30°,

∴∠DAP=120°,

∴∠1=∠2,

又AB=AC,

∴△ABD≌△ACP,

∴BD=PC,

∵AF⊥PD,

∴PF=AP,

∴PD=AP,

PA+PC=PB.

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