Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=b，AD=a，過D和B作DE⊥AC，BF⊥AC，且AE=EF，試求a與b之間的關系．

Answer 1

解：a與b的關系是b=a，
理由是：
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∵AE=EF，
∴AE=EF=CF，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°=∠BFC，
∴∠BCF+∠CBF=90°，∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABF=∠BCF，
∵∠AFB=∠CFB=90°，
∴△ABF∽△BCF，
∴==，
設AE=EF=CF=c，
則BF²=AF•CF=2c²，
∴BF=c，
∵AB=b，BC=a，
∴==，
∴b=a，
即a與b之間的關系是b=a．
分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定推出△ADE≌△CBF，推出AE=EF=CF，證△ABF∽△BCF，得出比例式==，設AE=EF=CF=c，求出BF的值，代入即可求出答案．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應用，解此題的關鍵是求出AE=EF=CF和得出a、b和CF的關系式，此題綜合性比較強，通過做此題培養(yǎng)了學生運用所學的定理進行推理的能力同時也培養(yǎng)了學生的計算能力．