Question

已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=

20

3

，AE⊥BD，垂足是E．點F是點E關(guān)于AB的對稱點，連接AF、BF．

（1）求AE和BE的長；
（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）．當點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應(yīng)的m的值．
（3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q．是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；
（2）依題意畫出圖形，如答圖2所示．利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰△DPQ有4種情形，如答圖3所示，對于各種情形分別進行計算．

解答：解：（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=

20

3

，
由勾股定理得：BD=

AB2+AD2

=

52+( 20 3 )2

=

25

3

．
∵S_△ABD=

1

2

BD•AE=

1

2

AB•AD，
∴AE=

AB•AD

BD

=

5× 20 3

25 3

=4．
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3．

（2）設(shè)平移中的三角形為△A′B′F′，如答圖2所示：
由對稱點性質(zhì)可知，∠1=∠2．
由平移性質(zhì)可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．

①當點F′落在AB上時，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′=3，即m=3；
②當點F′落在AD上時，
∵AB∥A′B′，
∴∠6=∠2，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D為等腰三角形，
∴B′D=B′F′=3，
∴BB′=BD-B′D=

25

3

-3=

16

3

，即m=

16

3

．

（3）存在．理由如下：
在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：
①如答圖3-1所示，點Q落在BD延長線上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，

∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=

F′Q2+F′B2

=

92+32

=3

10

．
∴DQ=BQ-BD=3

10

-

25

3

；
②如答圖3-2所示，點Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，

∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，則此時點A′落在BC邊上．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′-A′Q=4-BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′²+F′Q²=BQ²，
即：3²+（4-BQ）²=BQ²，
解得：BQ=

25

8

，
∴DQ=BD-BQ=

25

3

-

25

8

=

125

24

；
③如答圖3-3所示，點Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．

∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°-

1

2

∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°-

1

2

∠1．
∴∠A′QB=∠4=90°-

1

2

∠1，
∴∠A′BQ=180°-∠A′QB-∠1=90°-

1

2

∠1，
∴∠A′QB=∠A′BQ，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=A′Q-A′F′=5-4=1．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=

F′Q2+F′B2

=

32+12

=

10

，
∴DQ=BD-BQ=

25

3

-

10

；
④如答圖3-4所示，點Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=5，
∴DQ=BD-BQ=

25

3

-5=

10

3

．
綜上所述，存在4組符合條件的點P、點Q，使△DPQ為等腰三角形；
DQ的長度分別為3

10

-

25

3

、

125

24

、

25

3

-

10

或

10

3

．

點評：本題是幾何變換壓軸題，涉及旋轉(zhuǎn)與平移變換、矩形、勾股定理、等腰三角形等知識點．第（3）問難度很大，解題關(guān)鍵是畫出各種旋轉(zhuǎn)圖形，依題意進行分類討論；在計算過程中，注意識別旋轉(zhuǎn)過程中的不變量，注意利用等腰三角形的性質(zhì)簡化計算．