Question

如圖，Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊OA與x軸重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，一條拋物線正好經(jīng)過點(diǎn)O，C，A三點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，分別過點(diǎn)P，點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請(qǐng)說明理由．
（3）如果x軸上有一動(dòng)點(diǎn)H，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)镺A=4，AB=2，把△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
可以確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）；由圖可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），
又因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過原點(diǎn)，故設(shè)y=ax²+bx把（2，4），（4，0）代入，
得，
解得
所以拋物線的解析式為y=-x²+4x；

（2）四邊形PEFM的周長有最大值，理由如下：
由題意，如圖所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，-a²+4a）則由拋物線的對(duì)稱性知OE=AF，
∴EF=PM=4-2a，PE=MF=-a²+4a，
則矩形PEFM的周長L=2[4-2a+（-a²+4a）]=-2（a-1）²+10，
∴當(dāng)a=1時(shí)，矩形PEFM的周長有最大值，L_max=10；

（3）在拋物線上存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形，理由如下：
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4可知頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，4），
∴知道C點(diǎn)正好是頂點(diǎn)坐標(biāo)，知道C點(diǎn)到x軸的距離為4個(gè)單位長度，
過點(diǎn)C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點(diǎn)，過y=-4作x軸的平行線，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
這兩個(gè)交點(diǎn)為所求的N點(diǎn)坐標(biāo)所以有-x²+4x=-4 解得x₁=2+，x₂=2-
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為N₁（2+，-4），N₂（2-，-4）．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出C的坐標(biāo)和A的坐標(biāo)，又因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過原點(diǎn)，故設(shè)y=ax²+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式；
（2）四邊形PEFM的周長有最大值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，-a²+4a）則由拋物線的對(duì)稱性知OE=AF，所以EF=PM=4-2a，PE=MF=-a²+4a，則矩形PEFM的周長L=2[4-2a+（-a²+4a）]=-2（a-1）²+10，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形PEFM的周長的最大值；
（3）在拋物線上存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形，由（1）可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點(diǎn)，過y=-4作x軸的平行線，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)為所求的N點(diǎn)坐標(biāo)所以有-x²+4x=-4，解方程即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最大值問題和函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，題目的綜合性很強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求很高．