Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段AE使∠BAD=∠CAE（E在AC右側(cè)），連結(jié)BD，CE．
（1）求證：BD=CE；
（2）若AD=2，求點(diǎn)D繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAE可得∠BAC=∠DAE=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段AE得到AD=AE，加上AB=AC，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90度得到△ACE，于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=CE；
（2）點(diǎn)D繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑為以A點(diǎn)為圓心，AD為半徑，圓心角為90的弧，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，即∠BAC=∠DAE=90°，
∵線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段AE，
∴AD=AE，
而AB=AC，
∴△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90度可得到△ACE，
∴BD=CE；
（2）解：點(diǎn)D經(jīng)過的路徑長=$\frac{90•π•2}{180}$=π．
所以點(diǎn)D繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長為π．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．