Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，過⊙O上的點C的切線交AB的延長線于E，AD⊥EC于D且交⊙O于F．
（1）若EC=4，EB=2，求線段CD和DF的長度；
（2）求證：AD+DF=AB．

Answer 1

（1）解：∵EC是⊙O的切線，
∴EC²=EB•AE，
∴AE=8，
∵AD⊥EC，EC是⊙O的切線，
∴∠ECO=∠EDA=90°
∴△ECO∽△EDA，
∴，
∴AD=，
在Rt△ADE中，ED²=AE²-AD²=，
∴CD=ED-EC=-4=，
∵∠BFA=90°（直徑所對的圓周角=90度），AD⊥ED，
∴BF∥ED，
∴△ABF∽△AED，
∴=，
將AB=6，AD=，AE=8，代入得AF=
∴DF=AD-AF=-=；


（2）證明：連接OC，BF，兩直線的交點為N
∵AD⊥EC，OC⊥ED，
∴△BNO∽△BFA，
∴=，∴AF=2ON，
∵∠BFA=90°（直徑所對的圓周角=90度），
∴四邊形NCDF是個長方形，
∴DF=CN，
AD+DF=AF+2DF=2ON+2CN=2OC，
∵OC是半徑，AB是直徑，
∴AD+DF=AB．
分析：（1）根據(jù)切割線定理求得AE，再利用△ECO∽△EDA求出AD，再利用勾股定理求出ED，然后用ED-EC即可求出CD的長．
關(guān)于DF的求法：先利用∠BFA=90°（直徑所對的圓周角=90度）和AD⊥ED，求證△ABF∽△AED，再利用其對應(yīng)邊成比例求得AF，那么DF=AD-AF，即可得出答案．
（2）連接OC，BF 兩直線的交點為N，求證△BNO∽△BFA，求證四邊形NCDF是個長方形，然后AD+DF=AF+2DF=2ON+2CN=2OC，即可得出結(jié)論．
點評：此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點的理解和掌握，第（2）題中連接OC，BF 兩直線的交點為N，這是證明此題的突破點，此題屬于中檔題．