Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象與一次函數(shù)y=-

1

2

x+

5

2

的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，

1

2

），連接AC，AC平行于y軸．
（1）求反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）現(xiàn)有一個(gè)直角三角板，讓它的直角頂點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上的A、B之間的部分滑動(dòng)（不與A、B重合），兩直角邊始終分別平行于x軸、y軸，且與線段AB交于M、N兩點(diǎn)，試判斷P點(diǎn)在滑動(dòng)過程中△PMN是否與△CAB總相似，簡(jiǎn)要說明判斷理由．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，

1

2

），AC平行于y軸．因而A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，把x=1代入一次函數(shù)y=-

1

2

x+

5

2

的解析式，就可以求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的解析式，就可以求出m的值．解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組就可以解得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）因?yàn)锽、C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，所以BC∥x軸，又因?yàn)锳C∥y軸，所以△CAB為直角三角形，同時(shí)△PMN也是直角三角形，AC∥PM，BC∥PN，因而△PMN∽△CAB．

解答：解：（1）由C（1，

1

2

）得A（1，2），代入反比例函數(shù)y=

m

x

中，得m=2，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=

2

x

(x＞0)，（2分）
解方程組

y=- 1 2 x+ 5 2 y= 2 x

，
由-

1

2

x+

5

2

=

2

x

化簡(jiǎn)得：x²-5x+4=0（x-4）（x-1）=0，
解得x₁=4，x₂=1，
∴B（4，

1

2

）；（5分）

（2）無論P(yáng)點(diǎn)在AB之間怎樣滑動(dòng)，△PMN與△CAB總能相似．
∵B、C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，∴BC∥x軸，
∵AC∥y軸，∴△CAB為直角三角形，
同時(shí)△PMN也是直角三角形，AC∥PM，BC∥PN，∴△PMN∽△CAB．（8分）
（在理由中只要能說出BC∥x軸，∠ACB=90°即可得分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法．同時(shí)同學(xué)們要掌握解方程組的方法．