Question

在△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE．
（1）如圖1，∠AED=______°；
（2）連接CE交直線AB于點(diǎn)F，直線CE交BD于點(diǎn)H．
①如圖2所示，試說明∠DBA=∠ECA；
②設(shè)∠ABC=α，旋轉(zhuǎn)的角度∠CAE=β（0°＜β＜360°），當(dāng)α、β滿足什么關(guān)系時，△BCF是等腰三角形．

Answer 1

解：（1）90°；
（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)中心為A點(diǎn)，B與D，C與E分別為對應(yīng)點(diǎn)，
∴AB=AD，AC=AE，旋轉(zhuǎn)角∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠DBA=∠ECA；
②如圖1，BF=CF，β=2α，如圖2，BC=BF，β=180°-α，
如圖3，BC=CF，β=360°-4α，如圖4，BC=BF，β=360°-α．
分析：（1）旋轉(zhuǎn)前后，對應(yīng)角相等，即∠AED=∠C=90°；
（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABD與△ACE為等腰三角形，且頂角為旋轉(zhuǎn)角∠BAD=∠CAE，可證△ABD∽△ACE，得出結(jié)論；
②△BCF是等腰三角形，有三種可能，即BF=CF，BC=BF，BC=CF，分別畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，外角定理求關(guān)系式．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到全等三角形，相等角，利用內(nèi)角和定理，外角定理求角的關(guān)系．