Question

如圖1，點(diǎn)P是△ABD中AD邊上一點(diǎn)，當(dāng)P為AD中點(diǎn)時(shí)，則有S_△ABP=

1

2

S_△BDP，如圖2，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，探究：
（1）當(dāng)AP=

1

2

AD時(shí)，如圖3，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關(guān)系？寫出求解過程；
（2）當(dāng)AP=

1

3

AD時(shí)，探究S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；
（3）一般地，當(dāng)AP=

1

n

AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，探究S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；
（4）當(dāng)AP=

m

n

AD（0≤

m

n

≤1）時(shí)，直接寫出S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AP=

1

2

AD，△ABP和△ABD的高相等，得出△CDP和△CDA的高相等，進(jìn)而得出S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP，整理求出即可；
（2）仿照（1）的方法，只需把

1

2

換為

1

3

；
（3）注意由（1）（2）得到一定的規(guī)律；得到面積和線段比值之間的一般關(guān)系；
（4）利用（3），得到更普遍的規(guī)律．

解答：解：（1）當(dāng)AP=

1

2

AD時(shí)（如圖②）：
∵AP=

1

2

AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=

1

2

S_△ABD．
∵PD=AD-AP=

1

2

AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=

1

2

S_△CDA．
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-

1

2

S_△ABD-

1

2

S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-

1

2

（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-

1

2

（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=

1

2

S_△DBC+

1

2

S_△ABC．

（2）∵AP=

1

3

AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=

1

3

S_△ABD．
又∵PD=AD-AP=

2

3

AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=

2

3

S_△CDA．
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-

1

3

S_△ABD-

2

3

S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-

1

3

（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-

2

3

（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=

1

3

S_△DBC+

2

3

S_△ABC．
∴S_△PBC=

1

3

S_△DBC+

2

3

S_△ABC

（3）S_△PBC=

1

n

S_△DBC+

n-1

n

S_△ABC；
∵AP=

1

n

AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=

1

n

S_△ABD．
又∵PD=AD-AP=

n-1

n

AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=

n-1

n

S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-

1

n

S_△ABD-

n-1

n

S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-

1

n

（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-

n-1

n

（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=

1

n

S_△DBC+

n-1

n

S_△ABC．
∴S_△PBC=

1

n

S_△DBC+

n-1

n

S_△ABC

（4）S_△PBC=

m

n

S_△DBC+

n-m

n

S_△ABC．

點(diǎn)評：此題主要考查了面積以及等積變換，注意總結(jié)相應(yīng)規(guī)律，類似問題通常采用類比的方法求解是解題關(guān)鍵．