Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，點E在中線AD上，以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，則⊙E的半徑為

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，連結(jié)EB，EC，設⊙E的半徑為R，先根據(jù)勾股定理計算出BC=4，則DC=2，由以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得EG=EF=R，則HC=R，AH=3-R，再證明△AEH∽△ADC，利用相似比可得到EH=

2(3-R)

3

，然后根據(jù)S_△ABE+S_△BCE+S_△ACE=S_△ABC得到關于R的方程，再解方程即可．

解答：解：作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，連結(jié)EB，EC，設⊙E的半徑為R，如圖，
∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=

AB2-AC2

=4，
而AD為中線，
∴DC=2，
∵以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，
∴EG=EF=R，
∴HC=R，AH=3-R，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ADC，
∴EH：CD=AH：AC，即EH=

2(3-R)

3

，
∵S_△ABE+S_△BCE+S_△ACE=S_△ABC，
∴

1

2

×5×R+

1

2

×4×R+

1

2

×3×

2

3

（3-R）=

1

2

×3×4，
∴R=

6

7

．
故答案為

6

7

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)．