Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，AC=BC，一個以點D為頂點的45°角繞點D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E，F(xiàn)，DF與AC交于點M，DE與BC交于點N．
（1）如圖1，若CE=CF，求證：DE=DF；

（2）如圖2，在∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中：
①探究三條線段AB，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若CE=4，CF=2，求DN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，

∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，

∴∠DCE=∠DCF=135°，

在△DCE與△DCF中， ，

∴△DCE≌△DCF，

∴DE=DF；

（2）

解：①∵∠DCF=∠DCE=135°，

∴∠CDF+∠F=180°﹣135°=45°，

∵∠CDF+∠CDE=45°，

∴∠F=∠CDE，

∴△CDF∽△CED，

∴ ，

即CD2=CECF，

∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，

∴CD= AB，

∴AB2=4CECF；

②如圖，過D作DG⊥BC于G，

則∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，

當CE=4，CF=2時，

由CD2=CECF得CD=2 ，

∴在Rt△DCG中，CG=DG=CDsin∠DCG=2 ×sin45°=2，

∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，

∴△CEN∽△GDN，

∴ =2，

∴GN= CG= ，

∴DN= = = ．

【解析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，于是得到∠DCE=∠DCF=135°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可的結(jié)論；（2）①證得△CDF∽△CED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，即CD2=CECF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD= AB，于是得到AB2=4CECF；②如圖，過D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，當CE=4，CF=2時，求得CD=2 ，推出△CEN∽△GDN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 =2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．