Question

在矩形ABCD中，邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處（如圖1）．

圖1                         圖2

（1）如圖2，設(shè)折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接,OP、OA．已知△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)；

（2）動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（不與點(diǎn)P、A重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連接MN、 PA，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作ME⊥BP于點(diǎn)E．

①在圖1中畫出圖形；

②在△OCP與△PDA的面積比為1：4不變的情況下，試問動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？請(qǐng)你說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°．

∴∠1+∠3=90°．

∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∴∠2=∠3．-------------------------1分

又∵∠D=∠C，                                                                  2

∴△OCP∽△PDA．---------------------------------------------2分

如圖1，∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴．∴CP=AD=4．

設(shè)OP=x，則CO=8－x．

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x²=(8－x)²+4²．---------------------------------------------3分

解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10． -------------------------------------------------4分

∴邊AB的長(zhǎng)為10．

（2）①----------5分

②在△OCP與△PDA的面積比為1：4這一條件不變的情況下，點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度是不變的．

過點(diǎn)M作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖．

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ．又ME⊥PQ

∴點(diǎn)E是PQ的中點(diǎn)

∵MP=MQ，BN=PM，，．

∴BN=QM，又 MQ∥AN

可證點(diǎn)F是QB的中點(diǎn)

∴EF=． ------------------------------------------------6分

∵△BCP中，∠C=90°，PC=4，BC=AD=8

∴PB=為定值

∴EF為定值．          ----------------------------------------------------------7分

∴在△OCP與△PDA的面積比為1：4這一條件不變的情況下，點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度是不變的它的．