Question

如圖，AB是△ABC外接圓O的直徑，D為⊙O上一點，且DE⊥CD交BC于E，求證：EB•CD=DE•AC．

Answer 1

證明：延長DE，交⊙O于F；連接CF，AF、BF；
由于CD⊥DF，即∠CDF=90°，因此CF必為⊙O的直徑．
∵OA=OB=OC=OF，
∴四邊形AFBC為矩形．
∴BF=AC，∠CBF=90°．
∴∠CDE=∠CBF=90°．
∵∠CED=∠FEB，
∴△CED∽△FEB，
∴EB：ED=BF：CD．
∴EB：ED=AC：CD．
∴EB•CD=DE•AC．
分析：本題可通過構建相似三角形求解．延長DE交⊙O于F，連接CF；由CD⊥DE，可知CF必為⊙O的直徑．連接AF、BF，由于四邊形ACBF的對角線相等且互相平分，因此四邊形ACBF是矩形．
可得AC=BF，∠EBF=90°；易證得△CED∽△FEB，可得出關于EB、CD、DE、BF的比例關系式，將AC=BF代入上式，可得出本題所證的結論．
點評：本題綜合考查了圓周角定理、矩形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識．綜合性較強，難度稍大．