Question

6．如圖，四邊形ABCD是菱形，點E為AB的中點，延長CD至F，使得DF=$\frac{1}{2}$CD，連接EF分別交AD，AC于點M，N．
（1）求證：AC⊥EF；
（2）若AB=4，∠ABC=60°，且P為AC上一點（P與點A不重合），連接PB和PE可得△PBE，求△PBE周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）只要證明AM=AE，根據(jù)菱形的性質(zhì)∠CAN=∠CAE，由此即可證明．
（2）如圖連接BM交AC于P，連接PE，此時△PEB周長最小．作MK⊥BA交BA的延長線于K，在RT△AMK，RT△KMB中利用勾股定理即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=BC，AB∥FC
∵AE=EB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=DF，
∵AE∥DF，
∴∠EAM=∠FDM，
在△AEM和△DFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠FDM}\\{∠AME=∠DMF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△EAM≌△FDM，
∴AM=DM=AE，
∵∠MAN=∠EAN，
∴AN⊥ME即AC⊥EF．
（2）如圖連接BM交AC于P，連接PE，此時△PEB周長最�。�作MK⊥BA交BA的延長線于K．
∵四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，
∴AD∥BC，AD=AB=4，
∴∠KAM=∠ABC=60°
在RT△AMK中，∵∠MKA=90°，AM=2，∠KMA=30°，
∴AK=1，KM=$\sqrt{3}$，
在RT△KMB中，∵∠K=90°，KM=$\sqrt{3}$，KB=5，
∴BM=$\sqrt{K{M}^{2}+K{B}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴△PEB周長的最小值=PE+PB+EB=PM+PB+EB=BM+EB=2$\sqrt{7}$+2．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、軸對稱-最短問題、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，利用對稱的性質(zhì)找到使得△PBE周長最小的點P位置，屬于中考�？碱}型．