Question

2．如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在圓周上，∠AMN=30°，B為弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則△PAB周長(zhǎng)的最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 作AE⊥MN交⊙O于E，連接BE交MN于點(diǎn)P作AF⊥OB于F，連接AP，此時(shí)△PAB周長(zhǎng)最小，因?yàn)椤鰽PB周長(zhǎng)=AP+PB+AB=PE+PB+AB=BE+AB，只要求出AB，BE即可．

解答 解：作AE⊥MN交⊙O于E，連接BE交MN于點(diǎn)P作AF⊥OB于F，連接AP，此時(shí)△PAB周長(zhǎng)最�。�
∵M(jìn)N是直徑，AE⊥MN，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{EN}$，
∵∠M=30°，
∴∠AON=∠NOE=60°，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BN}$，
∴∠AOB=∠BON=30°，
在RT△AOF中，∠AFO=90°，AO=1，
∴AF=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$，OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)B=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），
∵∠BOE=∠BON+∠NOE=90°，
∴BE=$\sqrt{2}$，
∴△APB周長(zhǎng)=AP+PB+AB=PE+PB+AB=BE+AB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱-最短問題、圓的有關(guān)知識(shí)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱變換找到點(diǎn)P，屬于中考�？碱}型．