Question

如圖，在△ABC中，∠C=60°，BC=4，AC=，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動，PD∥AB，交AC于D．設(shè)BP的長為x，△APD的面積為y．
（1）求AD的長（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并回答當(dāng)x取何值時，y的值最大？最大值是多少？
（3）點(diǎn)P是否存在這樣的位置，使得△ADP的面積是△ABP面積的？若存在，請求出BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵PD∥AB，
∴．
∵BC=4，AC=，BP的長為x，
∴．
∴；

（2）過點(diǎn)P作PE⊥AC于E．
∵sin∠ACB=，∠C=60°，
∴PE=PC×sin60°=（4-x）．
∴y=AD•PE=•x•（4-x）=-x²+x．
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+x．
∴當(dāng)x=2時，y的值最大，最大值是；

（3）點(diǎn)P存在這樣的位置．
∵△ADP與△ABP等高不等底，
∴．
∵△ADP的面積是△ABP面積的，
∴．
∴．
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
答：（1）AD的長為x；
（2）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-x²+x，當(dāng)x等于2時，y的值最大，最大值是；
（3）存在這樣的位置，BP的長是．
分析：（1）根據(jù)PD∥AB，利用平行線分線段成比例，可得，然后將已知數(shù)值代入即可．
（2）過點(diǎn)P作PE⊥AC于E．利用sin∠ACB=，∠C=60°，求得PE，然后即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)△ADP與△ABP等高不等底，可得．根據(jù)△ADP的面積是△ABP面積的，可得=．再利用PD∥AB，可得△CDP∽△CAB．然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得BP．從而可得點(diǎn)P存在這樣的位置．
點(diǎn)評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行線分線段成比例等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，有一定的拔高難度，是一道典型的題目．